آشنایی با تکنیکال قسمت دوم( مباحث فیبوناچی)

۱۳:۲۷ ۸۹/۰۴/۰۸

آشنایی با مباحث فیبوناچی

.ش

شاید واژه فیبوناچی یا همان دنباله فیبوناچی بارها به گوشتان خورده ولی هرگز کنجکاو نشده اید که بدانید منظور از دنباله فیبوناچی چیست یا اصلا از چه اقتباس شده است

موضوعی که در مباحث فلسفی تکنیکال بدان اشاره شد بحث علمی بودن ومبنای ریاضی وهندسی تحلیل تکنیکال بود

اینکه آیا تحلیل تکنیکال علم احتمالات و اما واگرها وشایدها است یانه این علم بر مبنای اصول علمی ریاضی ومنطق خاصی بنا شده است ؟

برای اینکه با فلسفه وجود تکنیکال و مبنا وپایه این علم بیشترآشنا بشویم به بررسی یکی از علوم زیر بنایی تکنیکال یعنی مباحث فیبوناچی خواهیم پرداخت

اصولا منظور از فیبوناچی چیست و از چه اقتباس گرفته شده است؟

دنباله فیبوناچی چیست؟

فیبوناچی برگرفته شده از اسم ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو فیبوناچی است

در دوران حیات فیبوناچی مسابقات ریاضی در اروپا بسیار مرسوم بود در یکی از همین مسابقات که در سال ۱۲۲۵ در شهر پیزا توسط امپراتور فردریک دوم برگزار شده بود مسئله زیر مطرح شد:

«فرض کنیم خرگوش‌هایی وجود دارند که هر جفت (یک نر و یک ماده) از آنها که به سن ۱ ماهگی رسیده باشند به ازاء هر ماه که از زندگی‌شان سپری شود یک جفت خرگوش متولد می‌کنند که آنها هم از همین قاعده پیروی می‌کنند حال اگر فرض کنیم این خرگوشها هرگز نمی‌میرند و در آغاز یک جفت از این نوع خرگوش در اختیار داشته باشیم که به تازگی متولد شده‌اند حساب کنید پس از n ماه چند جفت از این نوع خرگوش خواهیم داشت.»

فرض کنیم xn تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد، میدانیم که x۲=۱,x۱=۱، تعداد جفت خرگوشها در ماه n+۱ ام برابر خواهد بود با حاصلجمع تعداد جفت خرگوشهایی که در این ماه متولد می‌شوند با تعداد جفت خرگوشهای موجود(xn).اما چون هر جفت خرگوش که از دو ماه قبل موجود بوده هم اکنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زادو ولد رسیده‌اند تعداد جفت خرگوشهای متولد شده برابر خواهد بود با xn-۱، پس خواهیم داشت:

x۱ = ۱ , x۲ = ۱ , xn + ۱ = xn + xn - ۱

که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است.

۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴,…

فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفت‌انگیز و کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضی‌دانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشته‌های دیگر را به خود جلب کرده.

$F_1=F_2=1,\forall n>2: F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$

برای مثال برای به دست آوردن جملهٔ دهم باید جملهٔ نهم (۳۴) و جملهٔ هشتم (۲۱) را با هم جمع کنیم که برابر ۵۵ می‌شود.

چند فرمول برای احتساب جملهٔ nام دنبالهٔ فیبوناچی، بدون استفاده از جملات ماقبل وجود دارد.

$F\left(n\right) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}={{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}} \over {\sqrt 5}}\, ,$ , یکی از این فرمول هاست.

$\varphi$ (فی) همان عدد طلایی است که برابر با : ${{1+\sqrt 5}}\over 2$ می‌باشد.

دنباله فیبوناچی به شکل زیر خواهد بود

0و1و1و2و3و5و8و13و21و34و55و89و144 و233و...

که جمع دو عدد متوالی برابر عدد بعدی است

یعنی شما2عدد 0و1را ابتدا بنویسید سپس به ترتیب 2عدد متوالی را جمع کنید تا عددهای بعدی بدست بیاید

0و1:جمع2عدد برابر1میشود پس خواهیم داشت

0و1و1 :جمع2عدد متوالی یعنی1و1میشود2 پس خواهیم داشت

0و1و1و2:جمع2عدد متوالی یعنی1و2میشود3پس خواهیم داشت

0و1و1و2و3:جمع2عدد متوالی یعنی2و3میشود5 پس خواهیم داشت

0و1و1و2و3و5....

که در نهایت دنباله فیبوناچی به صورت زیر بدست میاید

0و1و1و2و3و5و8و13و21و34و55و89و144و233 و377و610و.......الی آخر

تا اینجای قضیه شناخت دنباله فیبوناچی بود اما عدد فی چیست؟

همانطور که گفته شد عدد فی برابر $\varphi$ (فی) همان عدد طلایی است که برابر با : ${{1+\sqrt 5}}\over 2$ می‌باشد.

یعنی 1.61803398 که این عدد را رند کنیم به عدد1.618 خواهیم رسید

یعنی عددفی برابر1.618 = $\varphi$

خب اعداد فیبوناچی را شناختیم حالا به نکته ظریفی خواهیم پرداخت

گفتیم دنباله فیبوناچی به صورت زیر است

0و1و1و2و3و5و8و13و21و34و55و89و144و233 و377و610و.......الی آخر

به ترتیب 2عدد متولی را برهم تقسیم کنید

بجز0اعداد بعدی را بصورت توالی برهم تقسیم کنید

1بر1میشود1

2بر1میشود2

3بر2میشود1.5

5بر3میشود1.666

8بر5میشود 1.6

13بر8میشود 1.625

21بر13میشود1.615

34بر21میشود 1.619

55بر34میشودو1.6176

89بر55میشود1.618

144بر89میشود1.6179

وهرچه به اعداد بزرگتر برسیم این نسبت به1.618خواهد رسید که همان نسبت فی هست

پس در دنباله فیبوناچی نسبت 2عدد متوالی به هم برابر

$\varphi \approx 1.61803\,39887\dots\,$

یا همان عدد فی است

عدد فی یا نسبت الهی

پیشینه توجه به عدد طلایی نه به زمان فیبوناچی بلکه به زمانهای بسیار دورتر می‌رسد.اقلیدس در جلد ششم از سیزده جلد کتاب مشهور خود که در آنها هندسه اقلیدسی را بنا نهاد، این نسبت را مطرح کرده‌است. لوکا پاچیولیThe Divine Proportion) تالیف کرد. وی در آن نقاشی‌هایی از لئوناردو داوینچی آورده‌است که پنج جسم افلاطونی را نمایش می‌دهند و در آنها نیز به این نسبت اشاره شده‌است. در سال ۱۵۰۹ میلادی کتابی با عنوان نسبت الهی (

مصریان، سالها قبل از میلاد از این نسبت آگاه بوده‌اند و آن را در ساخت اهرام مصر رعایت کرده‌اند. بسیاری از الگوهای طبیعی در بدن انسان این نسبت را دارا هستند. نسبت طول ضلع پنج پر منتظم به طول ضلع پنج ضلعی منتظم برابر همین عدد است. روانشناسان هم بر این باورند زیباترین مستطیل به دید انسان، مستطیلی است که نسبت طول به عرض آن برابر عدد طلایی باشد.

عدد فی را نسبت الهی نیز مینامند ودلیل آن وجود این نسبت در طبیعت کهکشانها وحیوانات وگیاهان وحتی اندام انسان وبناها و...است

عدد جادویی فی و ردپای آن در طبیعت

هنرمندان قدیمی برای اضافه نمودن حس توازن و شکوه به یک صحنه ، مجسمه یا بنا مدتها از ترکیب تناسب طلایی استفاده کرده‌اند . ترکیب مزبور یک تناسب ریاضی بر اساس نسبت 1.618/1 بوده و در اغلب مواقع در طبیعت ، مثلا در صدف‌های دریایی و الگوی دانه‌های گل آفتاب‌گردان و یا ساختار هندسی بازوهای میله‌ای کهکشانهای مارپیچی موجود در کیهان یافت می‌شود . امروزه سرنخ‌هایی از این نسبت طلایی در نانو ذرات ( شاخه نانو تکنولوژی ) بدست آمده است . در واقع هم در عالم خرد و هم در عالم کلان این تناسب بخوبی قابل شناسایی است . به هر حال به کار بردن این نسبت در طراحی‌های دستی و رشته‌های هنری کار راحتی نمی‌باشد ، برای اینکه هرگز نمی‌توان به مرکز دوران مارپیچ رسید و این نقطه ، مرکزی نامعلوم و غیر قابل دسترس است و تا بی‌نهایت ادامه می‌یابد . به علت سهولت در ترسیم‌ها و کارهای عملی ، نسبت 1.6/1 در نظر گرفته می‌شود .

در شکلهای بالا نسبت حلقه بزرگ به حلقه کوچک در حلزون برابر عدد فی است یا در کهکشانها یا در صدف و...همگی این نسبت دیده میشود

در گل آفتاب‌گردان ، امتداد مسیر دوران مارپیچ طلایی یا فیبوناچی در هر دو جهت ساعت گرد و پاد ساعت گرد مشاهده میشود .

...

مستطیل فیبوناچی :نسبت هر مستطیل بزرگ به مستطیل کوچک قبلی برابر عددفی یا همان 1.618است

برای رسم مارپیچ طلایی یا فیبوناچی از راس ( گوشه ) هر مربع یک کمان به شعاعی برابر ضلع آن مربع رسم می‌کنیم . به این مارپیچ بدست آمده ، اسپیرال لگاریتمی هم گفته میشود .

در شکل زیر مستطیل طلایی ویژه برای نشان دادن نسبت فی رسم شده است نسبت382به236نیز برابر عددفی همان1.618است بعدا تو مباحث تکنیکال کاربرد اعداد 382و236و618و500و161.8را برای پیدا کردن نقاط برگشتی و اهداف سهم نشان خواهیم داد

اهرام :

جالب است بدانیم که نسبت ضلع بلندتر به ضلع کوتاه‌تر مستطیل طلایی که نسبت طلایی نامیده می‌شود ، در بسیاری از طرح‌های هنری از قبیل معماری و خطاطی ظاهر می‌شود . مطابق تحقیقات انجام شده ، نسبت طول ضلع قاعده به ارتفاع در اهرام ثلاثه مصر ، برابر نسبت طلایی است . همچنین دیوارهای معبد پارتنون از مستطیل‌های طلایی ساخته شده است ! زیرا به اعتقاد سازندگان آنها ، مستطیل‌ها با نسبت‌های طلایی به چشم خوشایندتر هستند و این موضوع دال بر این واقعیت است که این تناسبات هندسی در ذات انسان‌ها نیز شکل گرفته‌اند !

در اهرام مصر نیز این نسبت به دقت رعایت شده است. مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا 1.61804 می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم!

اهرام - نسبت
طلایی

برش اهرام و نسبت طلایی

اهرام مصر یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا" 1.61804 می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi²=phi+b² خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا" عدد طلایی را با phi نمایش می دهند)

طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا" معادل 440 متر می باشد بنابر این نسبت 356 بر 220 (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد.

کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : "هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فیثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد".

تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد

جالب است بدانید نسبت فی در بدن انسان نیز رعایت شده است

نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا.
نسبت فاصله نوک انگشتان تا آرنج به فاصله مچ تا آرنج.
نسبت فاصله شانه تا بالای سر به اندازه سر.
نسبت فاصله ناف تا بالای سر به فاصله شانه تا بالای سر.
نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا.

همگی برابر عدد فی است

پس عدد فی برابر 1.618 میباشد که این نسبت معروف به نسبت الهی است که از این نسبت در طبیعت وبدن انسان وساختمانها وبناها و...به کرات استفاده شده است بعدا کاربرد این عدد را در تکنیکال فرا خواهیم گرفت

امروز به اینجا رسیدیم که علم تکنیکال ومباحث فلسفی وزیربنای آن همگی بر مبنای علوم ریاضی وهندسی بنا شده است